[noneedtolie]

Я наконец нашел время дать развернутый ответ на вопрос про игру) Если, вы не видели вопрос, то он тут. Убедительная просьба проголосовать)

Некоторая путаница возникает, потому что это не полностью вероятностный вопрос. Ведь у нас всегда есть выбор, что мы можем показывать.

Игрока выбравшего "четные" будем называть "игрок Ч", а другого -- "игрок Н". Предположим игрок Н решил показывать всегда 1, тогда через некоторое время игрок Ч это поймет и станет показывать, например, 3. Тогда игроку Н придется поменять стратегию и начать показывать какое-нибудь четное число, например, 2. Тогда игрок Ч снова поменяет свою стратегию и т.д. В этом случае говорят, что у игры нет равновесия в чистых стратегиях. Нет такого числа, которое было бы всегда выгодно показывать кому-либо из игроков. Поэтому нужно делать то, что мы и делаем интуитивно -- показывать одно из чисел с некоторой вероятностью. Это называется смешанными стратегиями.

В посте предлагалось два варианта ответа, которые на самом деле, являются всего навсего двумя интуитивно выбранными смешанные стратегиями. Моя знакомая предлагала с одинаковой вероятностью показывать либо четное, либо нечетное число, а её подруга -- показывать все числа с одинаковой вероятностью. Можно посчитать, что если игрок Н пользуется стратегией моей знакомой, а игрок Ч стратегией её подруги, то любой из игроков будет выигрывать с вероятностью 50% процентов. То же самое будет, если оба игрока пользуются стратегией моей знакомой, а если оба игрока пользуются стратегией её подруги, то игрок Ч, действительно, будет выигрывать чаще.

Это наводит на вопрос: так может всё-таки для игрока Ч существует какая-та супер секретная стратегия, которая позволит ему выигрывать чаще? Т.е., может быть, всё-таки игра нечестная? Окончательный ответ: нет, игра 100% честная. Для этого достаточно выписать все возможные исходы игры, как на картинке ниже

В полях таблицы "1" один означает победу игрока Ч, а "-1" победу игрока Н. Таблица, как видно, симметричная. Мы можем поменять двух игроков местами, и она не изменится. А это означает, что любая супер-пупер стратегия игрока Ч должна быть также супер-пупер стратегий игрока Н. Но тогда, применяя её, каждый из игроков будет выигрывать с вероятностью не больше 50%.

На самом деле эта стратегия, как уже можно догадаться, просто показывать с одинаковой вероятностью либо четное, либо нечетное число. В самом деле, в таблице мы видим, что есть повторяющиеся столбцы и строки. Это означает, что хоть эти чистые стратегии и выглядят разными, но дают один и тот же результат. А значит, мы можем их просто вычеркнуть и оставить, например, лишь чистые стратегии 1 и 2. Тогда наша табличка превратится в

Но отсюда уже можно легко убедиться, что если один из игроков выбирает каждое из чисел с вероятностью 50%, то при любой стратегии другого игрока вероятность победы будет неизменно 50%. А значит, это и есть наша оптимальная стратегия.

Оффтоп: Можно задаться вопросом о существовании подобных стратегий и в других играх, когда никто из игроков не сотрудничает друг с другом. Такие игры называются некооперативными. И действительно, наилучшие смешанные стратегии существуют для любой конечной некооперативной игры с любым числом игроков. Это показал Джон Нэш, и теперь такой набор стратегий называют равновесием Нэша. Вы, может быть, его знаете по фильму "Игры разума". В этом фильме есть забавный момент, когда во время танцев Нэш объясняет, почему учение Адама Смита устарело, и в этот момент он находит свою заветную тему для диссертации. А забавный он, потому что он объясняет это на примере кооперативной игры, а диссертацию свою он написал по некооперативным.